Definición

Del latín mathematĭca, aunque con origen más remoto en un vocablo griego que puede traducirse como “conocimiento”, la matemática es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.

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¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Términos de una Ecuación

Son cada una de las cantidades que están conectadas por los signos + ó –

 

Realizado por: Vanessa Espinoza

Solución de una Ecuación

La solución de una ecuación es el número que hace que la igualdad sea cierta al sustituir la letra por dicho número.

Para comprobar si un número es solución de una ecuación, se sustituye la letra por el número y se hacen operaciones, si queda el mismo resultado a la derecha y a la izquierda del igual  el número es la solución. 

Tipos de Ecuaciones

1. Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

Tipos de ecuaciones polinómicas

1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)² = x² - 2

x² + 2x + 1 = x² - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax² = 0

ax² + b = 0

ax² + bx = 0

1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax³ + bx² + cx + d = 0, con a ≠ 0.

1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. 

ax⁴ + bx² + c = 0, con a ≠ 0.

1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a₁xⁿ + a₂x^n-1 + a₃x^n-2 + ...+ a₀ = 0

2. Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

3. Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

4. Ecuaciones no polinómicas

4.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

4.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

4.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

¿Qué es una Ecuación de Primer Grado o Lineal?

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Resolución de Ecuaciones de Primer Grado

• Con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

   2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

    2x = 53 + 3

    2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

   2x • ½   =  56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

   x = 56 / 2

   x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

• Productos incluidos

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

 Observemos un ejemplo:

	Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
	Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
	Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
	Despejamos x pasando 3 a dividir.

• Problemas 

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema característico:

Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x         edad de Pedro

y         edad de Álvaro

z         edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):

y = x + 3

También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):

z = x – 7

Ahora tenemos que:

edad de Pedro:      x

edad de Álvaro:     x +3

edad de María:      x – 7

La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:

edad de Pedro:      x         = 14 años

edad de Álvaro:     x + 3   =  17 años

edad de María:      x – 7    =  7 años